Matemáticos descobrem dois novos tipos de infinito: cardinais rigorosos

A questão sobre se há uma infinidade de infinitos pode parecer um enigma filosófico, mas para os matemáticos é um desafio sério e fascinante. Um novo estudo conduzido por pesquisadores da Universidade Tecnológica de Viena e da Universidade de Barcelona revelou dois novos níveis no conceito de infinito: os cardinais rigorosos e ultrarrigorosos.

O que é infinito?

Matemáticos classificam os infinitos em uma hierarquia onde alguns são "maiores" que outros. Por exemplo:

  • ℵ₀ (aleph-zero): O infinito dos números naturais (1, 2, 3, ...).
  • Infinito dos números reais: Inclui todos os números racionais, irracionais, negativos e as infinitas frações entre 0 e 1.

Esses tipos de infinitos são descritos por meio de axiomas de cardinais grandes, que definem números infinitos com propriedades específicas e complexas. No entanto, os novos cardinais rigorosos e ultrarrigorosos não se encaixam perfeitamente nesse esquema conhecido.

Cardinais rigorosos e ultrarrigorosos: o que são?

Segundo Joan Bagaria, matemático da Universidade de Barcelona, esses novos cardinais ocupam o topo da hierarquia dos cardinais grandes e possuem características que desafiam os conceitos tradicionais.

  • Cardinais rigorosos: Possuem propriedades mais "fortes" que muitos cardinais grandes já conhecidos, interagindo com o universo matemático de formas inéditas.
  • Cardinais ultrarrigorosos: São versões ainda mais poderosas dos cardinais rigorosos, com "superpoderes" que ampliam sua influência sobre a estrutura do infinito.

Ordem ou caos: a hipótese HOD em questão

Durante décadas, matemáticos discutem se o infinito pode ser "ordenado". A hipótese HOD (Hereditary Ordinal Definability) sugere que conjuntos infinitos poderiam ser definidos de forma ordenada, alinhando-se a princípios como o Axioma da Escolha.

Porém, os novos cardinais complicam essa ideia. De acordo com Juan Aguilera, coautor do estudo, os cardinais ultrarrigorosos rompem padrões tradicionais. Eles interagem de maneiras "estranhas" com outras noções de infinito, podendo refutar a hipótese HOD.

"Se isso for verdade, a estrutura do infinito é muito mais complexa do que imaginávamos," afirmou Aguilera.

Por que isso importa?

Essas descobertas não são apenas abstratas: o conceito de infinito é essencial em áreas como:

  • Criptografia: Onde teorias sobre infinitos ajudam a desenvolver algoritmos para proteção de dados.
  • Cosmologia: Relaciona-se ao estudo de buracos negros e do universo em larga escala.
  • Inteligência artificial: Algoritmos avançados baseiam-se em teorias de conjuntos.

Além disso, esses avanços levantam questões filosóficas profundas: podemos realmente compreender o universo se o conceito de infinito continuar a nos surpreender?

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Author`s name Petr Ermilin